অধ্যায়-১
১। নিম্নোক্ত সংখ্যাগুলো লক্ষ্য কর:
৩,৩,৬,১২,২১,৩৩.... 
(ক) উপরোক্ত তালিকার পরপর দুইটি সংখ্যা নির্ণয় কর।
(খ) প্রাপ্ত প্যাটার্নটির পার্থক্য থেকে ১২ টি সংখ্যার একটি প্যাটার্ন তৈরি কর এবং প্যাটার্নটি বীজগণিতীয় রাশিটি লিখ।
(গ) নুতন প্যাটার্নটির প্রথম ১২০ টি পদের সমষ্টি সূত্রের সাহায্যে ণির্নয় কর
১ (ক) উপরোক্ত তালিকার পরবর্তী দুইটি সংখ্যা নির্ণয় কর। 
সমাধান:
প্রদত্ত তালিকা = ৩,৩,৬, ১২,২১,৩৩....
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নিম্নরুপঃ 

প্যাটার্ন ৩, ৩, ৬, ১২, ২১, ৩৩, পার্থক্য ০ ৩ ৬ ৯ ১২

এখানে লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে,
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য ৩ এর গুণিতক। 
অর্থাৎ, প্রতিবারই পরবর্তী সংখ্যা ৩ এর গুণিতক করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
যেমন:
৩−৩=৩×০
৬−৩=৩×১
১২−৬=৬=৩×২
২১−১২=৯=৩×৩
৩৩−২১=১২=৩×৪

সুতরাং, প্রদত্ত তালিকার পরবর্তী দুটি সংখ্যা হবে যথাক্রমে
৩৩ + ৩× ৫ = ৩৩+ ১৫ = ৪৮
৪৮ + ৩ ×৬ = ৪৮+ ১৮ = ৬৬



১ (খ) (খ) প্রাপ্ত প্যাটার্নটির পার্থক্য থেকে ১২ টি সংখ্যার একটি প্যাটার্ন তৈরি কর এবং প্যাটার্নটি বীজগণিতীয় রাশিটি লিখ। 
উপরে প্রাপ্ত প্যাটার্নের পার্থক্যের প্যাটার্ন নিম্নরুপঃ
০,৩,৬,৯,১২,.... 
এখানে লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে,
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য ৩
অর্থাৎ, প্রতিবারই পরবর্তী সংখ্যা ৩ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
সুতরাং, পার্থক্যের প্যাটার্নের পরবর্তী সংখ্যা হবে যথাক্রমে
১২+৩=১৫
১৫+৩=১৮
১৮+৩=২১
২১+৩=২৪
২৪+৩=২৪
২৪+৩=২৭
২৭+৩=৩০

অতএব,
১২ টি সংখ্যার একটি প্যাটার্ন সংখ্যা = ০,৩,৬,৯,১২, ১৫,১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০

এখন প্রাপ্ত প্যাটার্নের,
১ম পদ = 0=৩×১−৩
২য় পদ = ৩=৩×২−৩
৩য় পদ = ৬=৩×৩−৩
৪র্থ পদ = ১২=৩×৪−৩
সুতরাং,
n তম পদ = ৩×n−৩ 
অতএব,
প্যাটার্নটির বীজগণিতীয় রাশি n তম পদ = ৩×n−৩ 

১(গ) নুতন প্যাটার্নটির প্রথম ১২০ টি পদের সমষ্টি সূত্রের সাহায্যে ণির্নয় কর। 
উপরে প্রাপ্ত নুতন প্যাটার্নটির বীজগণিতীয় রাশির n তম পদ = ৩×n−৩ 
অতএব,
১২০ তম পদ = ৩×১২০−৩
= ৩৬০-৩
= ৩৫৭

সুতরাং, আমরা পাই,
প্রথম পদ = 0
শেষ পদ = ৩৫৭
পদ সংখ্যা =১২০
অতএব,
১২০ টি পদের সমষ্টি =

(প্রথম পদ + শেষ পদ ) × পদ সংখ্যা

২

 

= 

(০+৩৫৭)×১২০

২

= 

৩৫৭×১২০

২

= ৩৫৭×৬০
= ২১৪২০ 
২। একটি তালিকা ৮,১৫,২২,২৯.... 
(ক) তালিকার পরবর্তী ২ টি সংখ্যা লিখ।
(খ) প্যাটার্নটির বীজগণিতীয় রাশি লিখ।
(গ) প্রথম ২০ টি ও প্রথম ৫০ টি পদের সমষ্টির পার্থক্য লিখ। 
২ (ক) উপরোক্ত তালিকার পরবর্তী দুইটি সংখ্যা নির্ণয় কর। 
সমাধান:
প্রদত্ত তালিকা = ৮,১৫,২২,২৯.....
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নিম্নরুপঃ 

প্যাটার্ন ৮, ১৫, ২২, ২৯, পার্থক্য ৭ ৭ ৭

এখানে লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে,
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য ৭ 
অর্থাৎ, প্রতিবারই পরবর্তী সংখ্যা ৭ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
সুতরাং, প্রদত্ত তালিকার পরবর্তী দুটি সংখ্যা হবে যথাক্রমে
২৯ + ৭ = ৩৬
৩৬ + ৭ =৪৩

তালিকার পরবর্তী ২ টি সংখ্যা = ৩৬, ৪৩

২(খ) প্যাটার্নটির বীজগণিতীয় রাশি লিখ। রাশিটি লিখ। 
এখন প্রদত্তপ্যাটার্নের,
১ম পদ = ৮=৭×১+১
২য় পদ = ১৫=৭×২+১
৩য় পদ = ২২=৭×৩+১
৪র্থ পদ = ২৯=৭×৪+১
৫ম পদ = ২৯=৭×৫+১
৬ ষ্ঠ পদ = ৪৩=৭×৬+১
সুতরাং,
n তম পদ = ৭×n+১ 
অতএব,
প্যাটার্নটির বীজগণিতীয় রাশি n তম পদ = ৭×n+১ 

৩(গ) প্রথম ২০ টি ও প্রথম ৫০ টি পদের সমষ্টির পার্থক্য লিখ। 
উপরে প্রাপ্ত নুতন প্যাটার্নটির বীজগণিতীয় রাশির n তম পদ = ৭×n+১ 
অতএব,
২০ তম পদ = ৭×২০+১ 
= ১৪০+ ১
= ১৪১ 

৫০ তম পদ = ৭×৫০+১ 
= ৩৫০+ ১
= ৩৫১ 

সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে আমরা পাই,
প্রথম পদ =৮
শেষ পদ = ১৪১
পদ সংখ্যা =২০
অতএব,
প্রথম ২০ টি পদের সমষ্টি =

(প্রথম পদ + শেষ পদ ) × পদ সংখ্যা

২

 

= 

(৮+১৪১×২০

২

= 

১৪৯×২০

২

= ১৪৯×১০
= ১৪৯০ 

সুতরাং, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে আমরা পাই,
প্রথম পদ = ৮
শেষ পদ = ৩৫১
পদ সংখ্যা =৫০
অতএব,
প্রথম ৫০ টি পদের সমষ্টি =

(প্রথম পদ + শেষ পদ ) × পদ সংখ্যা

২

 

= 

(৮+৩৫১×৫০

২

= 

৩৫৯×৫০

২

= 

১৭৯৫০

২

= ৮৯৭৫ 

অতএব,
সমষ্টির পার্থক্য = ৮৯৭৫- ১৪৯০ 
= ৭৪৮৫৩। (৫ক+২) একটি বীজগণিতীয় রাশি।

ক) রাশিটির ১ম ও ২য় পদ কত?
খ) উদ্দীপকের আলোকে ৩য় ও ৪র্থ পদের জ্যামিতিক প্যাটার্ণ অংকন কর এবং অংকনের সত্যতা যাচাই কর।
গ) রাশিটির ১ম ১০০ পদের সমষ্টি ণির্নয় কর। 
 ৩ (ক) রাশিটির ১ম ও ২য় পদ কত?
সমাধান:
প্রদত্ত রাশিটি = (৫ক+২)
এখানে, ক = ১,২,৩,৪......
অতএব,
১ম পদ = ৫×১+২=৫+২=৭
২য় পদ = ৫×২+২=১০+২=১২
রাশিটির ১ম ও ২য় পদ = ৭ ও ১২ 


৩ (খ) উদ্দীপকের আলোকে ৩য় ও ৪র্থ পদের জ্যামিতিক প্যাটার্ণ অংকন কর এবং অংকনের সত্যতা যাচাই কর। 
প্রদত্ত প্যাটার্নের,
৩য় পদ = ৫×৩+২=১৫+২=১৭
৪র্থ পদ = ৫×৪+২=২০+২=২২
কাঠি দিয়ে নির্মিত ৩য় ও ৪র্থ পদের জন্য জ্যামিতিক প্যাটার্ন নিম্নরুপঃ 

দেখা যায় যে নির্মিত ৩য় জ্যামিতিক প্যাটার্নে কাঠির সংখ্যা ১৭ এবং ৪র্থ জ্যামিতিক প্যাটার্নে কাঠির সংখ্যা ২২সুতরাং, সত্যতা যাচাই হল।

৩ (গ) রাশিটির ১ম ১০০ পদের সমষ্টি ণির্নয় কর। 
প্রদত্ত বীজগণিতিক রাশি = (৫ক+২) 
অতএব,
১০০ তম পদ = ৫×১০০+২
=৫০০ + ২
=৫০২

সুতরাং, আমরা পাই,
প্রথম পদ = ৭
শেষ পদ = ৫০২
পদ সংখ্যা =১০০
অতএব,
প্রথম ১০০ টি পদের সমষ্টি =

(প্রথম পদ + শেষ পদ ) × পদ সংখ্যা

২

 

= 

(৭+৫০২)×১০০

২

= 

৫০৯×১০০

২

= ৫০৯×৫০
= ২৫৪৫০ 
৪। নিম্নোক্ত সংখ্যাগুলো লক্ষ্য কর:
৮,১৩,১৮,২৩,২৮....... 
(ক) তালিকার ১ম সংখ্যা দুইটিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর।
(খ) তালিকার পরবর্তী চারটি সংখ্যা নির্ণয় কর।
(গ) তালিকার ৫০ টি সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় কর। 
৪ (ক) তালিকার ১ম সংখ্যা দুইটিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ কর। 
সমাধান:
তালিকার ১ম দুইটি সংখ্যা = ৮,১৩
সংখ্যা দুইটিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করলে পাই,
৮=৩২−১২
১৩=৭২−৬২

৪(খ) তালিকার পরবর্তী চারটি সংখ্যা নির্ণয় কর। 
প্রদত্ত তালিকা = ৮,১৩,১৮,২৩,২৮....
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নিম্নরুপঃ 

প্যাটার্ন ৮, ১৩, ১৮, ২৩, ২৮ পার্থক্য ৫ ৫ ৫ ৫

এখানে লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে,
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য ৫ 
অর্থাৎ, প্রতিবারই পরবর্তী সংখ্যা ৫ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
সুতরাং, প্রদত্ত তালিকার পরবর্তী চারটি সংখ্যা হবে যথাক্রমে
২৮ + ৫ = ৩৩
৩৩ + ৫ = ৩৮
৩৮ + ৫ = ৪৩
৪৩ + ৫ = ৪৮

নির্ণেয় তালিকার পরবর্তী চারটি = ৩৩, ৩৮, ৪৩, ৪৮
৪(গ) তালিকার ৫০ টি সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় কর। 
প্যাটার্নটির বীজগণিতীয় রাশির n তম পদ = ৫×n+৩ 
অতএব,
৫০ তম পদ = ৫×৫০+৩
= ২৫০+৩
= ২৫৩

সুতরাং, আমরা পাই,
প্রথম পদ = ৮
শেষ পদ = ২৫৩
পদ সংখ্যা =৫০
অতএব,
৫০ টি পদের সমষ্টি =

(প্রথম পদ + শেষ পদ ) × পদ সংখ্যা

২

 

= 

(৮+২৫৩)×৫০

২

= 

২৬১×৫০

২

= ২৬১×২৫
= ৬৫২৫ ৫। নিম্নোক্ত সংখ্যাগুলো লক্ষ্য কর:
৩,৬,১১,১৮,২৭....... 
(ক) উদ্দীপকের প্যাটার্নটির পরবর্তী দুটি পদ নির্ণয় কর।
(খ) প্যাটার্নটির জন্য একটি বীজগণিতীয় রাশি তৈরি করে ১৫ তম ও ২৫ তম পদ নির্ণয় কর।
(গ) প্যাটার্নটির ১ম ২৫ টি পদের যোগফল নির্ণয় কর। 
৫ (ক) উদ্দীপকের প্যাটার্নটির পরবর্তী দুটি পদ নির্ণয় কর। 
সমাধান:
প্রদত্ত তালিকা = ৩,৬,১১,১৮,২৭....
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য নিম্নরুপঃ 

প্যাটার্ন ৩, ৬, ১১, ১৮ ২৭ পার্থক্য ৩ ৫ ৭ ৯

এখানে লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে,
প্রদত্ত সংখ্যা তালিকায় পর পর দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য প্রতিবার পার্থক্য ২ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। সুতরাং, প্রদত্ত তালিকার পরবর্তী দুটি সংখ্যা হবে যথাক্রমে
২৭ + (৯+২) = ২৭ + ১১ = ৩৮
৩৮ + (১১+২) = ৩৮ +১৩ = ৫১

নির্ণেয় তালিকার পরবর্তী দুটি সংখ্যা = ৩৮, ৫১

৫ (খ) প্যাটার্নটির জন্য একটি বীজগণিতীয় রাশি তৈরি করে ১৫ তম ও ২৫ তম পদ নির্ণয় কর। 
সমাধান:
এখন প্রদত্তপ্যাটার্নের,
১ম পদ = ৩=১২+২
২য় পদ = ৬=২২+২
৩য় পদ = ১১=৩২+২
৪র্থ পদ = ১৮=৪২+২
৫ম পদ = ২৭=৫২+২
সুতরাং,
n তম পদ = n2+২ 

অতএব,
১৫ তম পদ = ১৫ ২+২=২২৫+২=২২৭
২৫ তম পদ = ২৫ ২+২=৬২৫+২=৬২৭

নির্ণেয় ১৫ তম এবং ২৫ পদ যথাক্রমে = ২২৭ এবং ৬২৭
৫(গ) প্যাটার্নটির ১ম ২৫ টি পদের যোগফল নির্ণয় কর।
প্যাটার্নটির বীজগণিতীয় রাশির n তম পদ = n2+২ 
সুতরাং, প্যাটার্নটির ১ম ২৫ টি পদের যোগফল হবে নিম্নরূপ:
(১ ২+২)+(২ ২+২)+(৩ ২+২)+.....+(২৫ ২+২)
= (১ ২+২ ২+৩ ২+.....+২৫ ২)+(২৫×২)
= (১ ২+২ ২+৩ ২+.....+২৫ ২)+৫০

আমরা জানি সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 
Sn=

n(n+১)(২n+১)

৬

মান বসিয়ে পাই,
যোগফল = 

২৫(২৫+১)(২×২৫+১)

৬

+৫০

= 

২৫×২৬×৫১

৬

+৫০

= ৫৫২৫+৫০
= ৫৫৭৫



পর্ব-১ পরের অংশ এখানে দেখুন